海洋工程装备与技术 2014 , 1 (3): 213-217

海洋油气勘探开发技术与装备

随机波浪载荷下基于断裂力学的结构疲劳分析算法研究

尹彦坤, 陈实, 李挺前

湛江南海西部石油勘察设计有限公司,广东湛江 524057

Research of Numerical Algorithms for Structure's Fatigue Assessment in Random Waves Based on Fracture Mechanics

YIN Yan-kun, CHEN Shi, LI Ting-qian

Zhanjiang Nanhai West Oil Survey & Design Co., Ltd., Zhanjiang, Guangdong 524057, China

中图分类号: TU973+.254

文献标识码: A

文章编号: 2095-7297(2014)03-0213-05

收稿日期: 2014-08-20

网络出版日期: 2014-09-20

作者简介:

作者简介:尹彦坤(1980-),男,高级工程师,主要从事海洋石油固定式平台结构设计.

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摘要

应用断裂力学方法进行结构疲劳评估,Paris法则给出了简洁的计算公式,但是对于海洋结构物来说,在随机波浪载荷下的响应是非常复杂的.因此,对于结构疲劳寿命的评估,寻求一种兼顾计算效率,准确度和安全性的计算方法是非常重要的.结构的响应应力是一个随机变量,为了提高计算效率,研究了其等效恒值应力;为了保证计算结果的安全性,探讨了长期波浪分布下应力的加载次序.

关键词： 随机波浪 ; 断裂力学 ; 疲劳 ; 算法

Abstract

Paris law gives a simple formula for offshore structure's fatigue assessment with fracture mechanics method. However, the input "stress" data are complex, because the offshore structure's response under random waves is complex. For structures exposed under long-term waves, it is important to find a numerical algorithm which is efficient, accurate and safe for calculating fatigue life. Structure's response stress is a random variable, so its equivalent constant value can be investigated for efficiency,and its loading sequence under long-term waves should be investigated for conservation.

Keywords： random waves ; fracture mechanics ; fatigue ; numerical algorithm

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尹彦坤, 陈实, 李挺前. 随机波浪载荷下基于断裂力学的结构疲劳分析算法研究[J]. , 2014, 1(3): 213-217 https://doi.org/

YIN Yan-kun, CHEN Shi, LI Ting-qian. Research of Numerical Algorithms for Structure's Fatigue Assessment in Random Waves Based on Fracture Mechanics[J]. 海洋工程装备与技术, 2014, 1(3): 213-217 https://doi.org/

0 引言

通常认为海浪短期统计特性是平稳随机过程,波面高度的分布符合正态分布,波高的分布遵从瑞利分布,并且常用随机功率谱即海浪谱形式来描述随机波浪.波浪的长期分布通常以长期分布统计概率表的形式给出.波浪的短期分布加长期分布形成了结构的整个疲劳海况.

根据结构随机振动理论,结构的应力谱由传递函数和海浪谱生成.对于构成疲劳分析的海况来说,绝大多数为小振幅波,结构线性响应正比于波高,因此应力也遵从瑞利分布.应力分布的概率密度函数的生成,需要先求解应力的均方值,而应力的均方值可以从应力谱求得.

应用线弹性断裂力学的原理计算裂纹扩展率的公式(Paris法则)为da/dN=A(Δk)^m=A(Y(Δσ) $\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix} \begin{matrix} )^{m} \end{matrix}$ ^[1],其中Δσ为应力变化幅(Δσ=σ_max-σ_min,后面将以σ表示,并简称应力).由该式可以看出,求解随机波浪作用下结构的裂纹扩展,一项重要的内容便是应力的加载方法.

对于短期波浪引起的结构应力,为了避免计算程序上复杂的随机加载,可以采用等效应力的方法;而对于长期波浪统计,需要研究其加载次序.这两点便是本文讨论的主要内容.

1 应力谱及应力概率密度函数

1.1 海浪谱

波浪谱从频域角度描述波浪的组成,又称为频谱.海浪可视作由无限多个振幅不同,频率不同,方向不同,相位不同的波组成,在如图1所示的坐标系中[横轴为频率f,纵轴为S_ηη(f)=H²/8,代表波浪的能量]表达这些波浪,便构成了波浪谱.

在海浪研究中对充分成长的风浪记录进行谱估计和曲线的拟合时,提出了多种谱,常见的有Pieron-Moskowitz(PM)谱和JONSWAP谱等.其中PM谱的定义如下^[2]:

S_ηη(f)= $\begin{matrix} \frac{H_{s}^{2}}{4 π T_{z}^{4} f^{5}} \end{matrix}$ exp[- $\begin{matrix} \frac{1}{π} \end{matrix}$ (fT_z)^-⁴],(1)

式中:H_s为有效波高;T_z为平均跨零周期.

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图1 PM谱

Fig.1 PM spectrum

1.2 应力谱及应力概率密度函数

根据结构随机振动理论,应力谱由应力传递函数G(f)的平方乘上频谱得到,传递函数为单位激励和结构响应之间的函数关系,表示为^[2]

S_σσ(f)=|G(f)|²S_ηη(f).(2)

图2给出了这一方程的示意图.

应力的概率密度函数符合瑞利分布,其定义如下^[2]:

P(σ)= $\begin{matrix} \frac{σ}{4 m_{0}} \end{matrix}$ exp $\begin{matrix} (- \frac{σ^{2}}{8 m_{0}}) \end{matrix}$ ,(3)

式中:m₀为应力谱的0阶矩, 由前面应力谱的定义可知,m₀的物理意义为应力均方值的1/8.

应力谱的k阶矩定义为m_k= $\begin{matrix} \int_{0}^{\infty} \end{matrix}$ f^kS_σσ(f)df.应力的有效周期根据赖斯(Rice)公式由0阶矩和2阶矩求出:T_e= $\begin{matrix} \sqrt[]{m_{0} / m_{2}} \end{matrix}$ ^[3].

2 短期波浪引起的等效应力算法

2.1 等效应力的公式

有了应力谱和概率密度函数,下面考虑如何将其施加于结构并求解裂纹扩展.英国标准学会的BS7910(2005)8.4.2章对算法的建议是:把应力谱划分成一定数量的区块,区块的应力取其内部的最大值作为恒值,然后对每个区块分别进行计算,并且要选出造成最大裂纹扩展的区块加载次序^[1].

这种算法对于具有单一应力谱的结构是可行的;而对于生命周期为20~30年的海洋结构来说,应力谱的数量较大,加载次数多达上亿次,裂纹扩展公式的积分计算量是惊人的,因此需要寻找简化的方法.

应力作为随机变量,其多次作用的简化计算方法是求其等效值.这个等效也即对裂纹造成的扩展的等效,从数学上讲为所有应力的m次方的平均值.等效应力σ_e可由概率密度函数求出,计算公式如下:

σ_e= $\begin{matrix} \int_{0}^{\infty} \end{matrix}$ p(σ)σ^mdσ.(4)

假设此短期统计的持续时长为T,则应力循环次数为N=T/T_e.

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图2 应力谱的生成

Fig.2 Generation of stress spectrum

这样就可以推导出裂纹扩展的尺寸公式:Δa=N·A $\begin{matrix} {(Y (σ_{e}) \sqrt[]{πa})}^{m} \end{matrix}$ ,其中A和m为与材料和环境有关的常数,Y为应力强度因子修正系数,a为当前裂纹尺寸.应注意到是一种近似计算,而不是积分算法,为满足计算精度,需要对计算步长进行控制.BS7910的要求可以作为参考,要求持续时长T小于总寿命的0.1%,Δa<0.5%a.这两个要求都可以通过控制持续时长T的大小来达到.

2.2 考虑应力强度因子阈值影响时等效应力公式的修正

根据断裂力学理论,在应力强度因子变化幅Δk小于阈值Δk₀时,不引起裂纹的扩展^[1],所以等效应力的计算要进行修正,过滤掉低应力部分.Δk₀与材料,应力比R和环境有关.

由应力强度因子幅的定义公式Δk=Y(σ) $\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix}$ ^[1],根据当前裂纹尺寸a和应力强度因子阈值,反推一个应力阈值σ₀=Δk₀/(Y $\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix}$ ).等效应力公式修正为

σ_e= $\begin{matrix} \int_{σ_{0}}^{\infty} \end{matrix}$ p(σ)σ^mdσ;(5)

有效循环次数修正为

N_e=N $\begin{matrix} (1 - \int_{σ_{0}}^{\infty} p (σ) dσ) \end{matrix}$ .(6)

在实际的计算程序中,可采用近似方法计算σ_e和N_e,方法如下.

把应力从应力幅阈值σ₀到上限σ_u之间进行分解,步长为δ_σ.对每一个值σ,其出现概率为p(σ)·δ_σ,所以等效应力

σ_e=^m $\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{\sum_{σ}^{=} p (σ) σ^{m} δ_{σ}}{\sum_{σ}^{=} p (σ) δ_{σ}}} \end{matrix}$ ;(7)

有效循环次数

$\begin{matrix} \sum_{σ}^{=} p (σ) δ σ \end{matrix}$ . (8)

经过上述计算,最终得到裂纹扩展公式

Δa=N_e·A $\begin{matrix} {(Y (σ_{e}) \sqrt[]{πa})}^{m} \end{matrix}$ .(9)

2.3 积分上限σ_u的确定

在σ_e的计算程序中,不可能从σ₀积分到无穷大,其积分上限σ_u可由应力概率分布函数来确定.假设某一海况在结构总生命周期的持续时间为T,应力循环次数为N=T/T_e,则积分上限σ_u可由超越概率为1/N的应力值来确定.具体公式为P(σ)= $\begin{matrix} \int_{-}^{\infty} \end{matrix}$ p(σ)dσ=1-exp $\begin{matrix} (- \frac{σ^{2}}{8 m_{0}}) \end{matrix}$ =1-1/N^[3],解之可得

σ_u= $\begin{matrix} \sqrt[]{8 m_{0} \cdot lnN} \end{matrix}$ .(10)

2.4 导管架管节点疲劳分析算例

下面以某导管架管节点的疲劳分析为例,展示求解等效应力的过程.为了计算简单,把传递函数进行了简化.

求解导管架的传递函数要进行确定性波浪响应分析,采用Airy波理论,波浪力用Morison方程计算.传递函数选取波浪周期从1~20 s之间的20~30个值,波陡采用1/25~1/20.为了求解某个波浪工况下的应力变化幅值δ,把波浪分成20个左右的不同的相位进行计算,20个相位中的最大值减去最小值即得到该工况的应力变化幅值^[4].

传递函数G(f)如图3所示,图中横坐标为频率,纵坐标为σ/H,H为对应某一频率的波高.

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图3 传递函数

Fig.3 Transfer function

表1给出了波浪数据和波浪谱;表2列出了根据式(2)和图3所示传递函数计算得到的应力谱的0阶矩,2阶矩和有效周期,应力谱的图形见图4;表3给出了裂纹参数;表4列出了根据2.2节公式计算得到的等效应力,循环次数以及裂纹扩展.

表1 波浪参数

Table 1 Wave data

有效波高	跨零周期	持续时长	波浪谱
H_s/m	T_z/s	T/s
3.0	7.0	43 200	PM谱

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表2 应力谱

Table 2 Stress spectrum

m₀/MPa²	m₂/(MPa²·s^-2)	T_e/s
393.10	7.70	7.14

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图4 应力谱

Fig.4 Stress spectrum

表3 裂纹参数

Table 3 Crack parameters

裂纹初始尺寸	应力强度因子幅阈值	应力强度因子修正系数	裂纹扩展率常数
a/mm	Δk₀ /(MPa·m^1/2)	Y	A	m
2.0	63.0	2.0	1.32×10^-11	2.67

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表4 裂纹扩展计算结果

Table 4 Result for crack growth

应力阈值	有效周期	有效应力	有效循环次数	裂纹扩展
σ₀/MPa	T_e/s	/MPa	N_e	Δa/mm
12.57	5	26.9	6 438	0.005 41

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3 波浪长期分布的加载顺序

3.1 加载次序的差别

注意到裂纹扩展率的公式是微分方程,裂纹扩展需要进行积分求解,每次加载的裂纹初始尺寸等于上次加载的最终尺寸,因此不同的施加次序可能会造成计算结果的不同.

波浪的长期统计是由"方向-H_s-T_z-出现概率"构成的表格,典型统计见表5;表格中的数据表示某个短期波浪的出现概率,其有效波高为H_s,跨零周期为T_z.在确定表中的波浪加载次序之前,我们首先要研究不同加载次序造成的差别.

表5 典型波浪长期分布概率表

Table 5 Typical long-term wave distribution

有效波高H_s /m	跨零周期T_z/s						总和
有效波高H_s /m	<2	2~3	3~4	4~6	6~10	>10	总和
0	0.139	0.269	0.104	0.003	-	-	0.515
0.0~0.5	1.844	26.065	17.719	5.802	0.090	-	51.52
0.5~1.0	1.172	8.545	15.523	7.394	0.347	-	32.981
1.0~1.5	0.486	2.170	3.134	4.245	0.208	-	10.243
1.5~2.0	0.075	0.871	0.744	1.499	0.211	-	3.400
2.0~2.5	0.006	0.165	0.148	0.521	0.194	-	1.034
2.5~3.0	-	0.006	0.029	0.096	0.096	-	0.227
3.0~3.5	-	-	0.012	0.017	0.029	-	0.058
3.5~4.0	-	-	-	0.003	0.003	-	0.006
4.0~4.5	-	-	-	0.003	0.003	-	0.006
>4.5	-	-	-	0.003	-	-	0.003
总和	3.722	38.091	37.413	19.586	1.181	-	100

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选取表6中所示6组波浪数据,用第2节的方法计算裂纹扩展,并对结果进行对比.应力传递函数仍然采用2.4节的数据,频谱采用PM谱.计算结果见表7.

表6 分组的波浪数据

Table 6 Grouping of wave data

组号	1	2	3	4	5	6
H_s/m	4	4	4	1	1	1
T_z/s	7	7	7	3	3	3
T/s	43200	43200	43200	43200	43200	43200

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表7 裂纹扩展计算结果对比

Table 7 Comparison of calculation results of crack growth

施加次序	1/2/3/4/5/6	4/5/6/1/2/3	4/1/5/2/6/3
裂纹初始尺寸 a/mm	2	2	2
裂纹增长 Δa/mm	0.04091	0.04083	0.04086
差别率/%	0.13

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从表7的结果中可以看出,先施加较大荷载,后施加较小荷载,造成的破坏较大,但差别很小.

3.2 加载方法的确定

根据3.1节的结论,同时基于保守的原则,对于波浪长期概率分布表的数据,应采用从大波高到小波高的顺序进行施加.但是对于设计寿命为20~30年的海洋结构来说,这样做会与事实不符,因为在这么长的时间内实际波浪不会完全按照从大到小的顺序出现.

综合考虑安全,计算精度和计算量,对于波浪荷载的加载建议采用三级模式.第一级以年为单位,把总寿命划分成N块,记为T_i,这N块之间除给定裂纹初始尺寸的不同外无其他差别;如果事先总寿命不清楚,可以通过初步试算确定.

第二级为T_i的定义及分解,以3~24 h为单位,把T_i划分成m块,每块记为t_i,每块t_i有各自的有效波高H_s和跨零周期T_z;m个t_i要符合波浪长期概率表的定义,并按照H_s由大到小的顺序施加到结构上.

第三级为每块t_i内部,根据其H_s和T_z,采用第2节所述方法计算其等效应力和等效循环次数,作为裂纹疲劳评估的输入数据.

上述方法可用图5来表示.

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图5 波浪加载算法图

Fig.5 Numerical algorithm for wave loading

4 结语

目前海洋结构疲劳分析常用的是应力-寿命(S-N) 曲线和断裂力学法.对于随机波浪的加载,S-N曲线的方法比较简单和成熟,而断裂力学方法的研究较少.这两种方法的主要区别就是等效应力的计算和加载次序.

在实际应用中,应力阈值σ₀的计算比本文中公式要复杂得多,因为在应力强度因子的公式中,应力要分解为主应力,次应力,膜应力和弯曲应力,不同的应力有不同的修正因子Y.

同时应注意到,本文中应力谱的计算仅适用于线性反应体系,所以上述方法也仅适用于线性结构体系.在导管架的疲劳分析中,非线性的桩土基础可以进行近似的线性化,从而运用上述方法计算.

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]	British Standards Institution. BS 7910--2005. Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures [S]. 2005. [本文引用: 4]
[2]	Barltrop N D P. Dynamics of Fixed Marine Structures [M].Oxford: Butterworth-Heinemann, 2011: 609-635. [本文引用: 3]
[3]	刘永庚. 海洋工程水动力学[M].北京:国防工业出版社,2012:19-49. [本文引用: 2]
[4]	American Petroleum Institute. API RP 2A-2007. Recommended practice for planning, designing and constructing fixed offshore platforms--working stress design [S]. 2007. [本文引用: 1]

BS 7910--2005. Guide to methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures

2005

... 应用线弹性断裂力学的原理计算裂纹扩展率的公式(Paris法则)为da/dN=A(Δk)^m=A(Y(Δσ)

\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix} \begin{matrix} )^{m} \end{matrix}

^[1],其中Δσ为应力变化幅(Δσ=σ_max-σ_min,后面将以σ表示,并简称应力).由该式可以看出,求解随机波浪作用下结构的裂纹扩展,一项重要的内容便是应力的加载方法. ...

... 有了应力谱和概率密度函数,下面考虑如何将其施加于结构并求解裂纹扩展.英国标准学会的BS7910(2005)8.4.2章对算法的建议是:把应力谱划分成一定数量的区块,区块的应力取其内部的最大值作为恒值,然后对每个区块分别进行计算,并且要选出造成最大裂纹扩展的区块加载次序^[1]. ...

... 根据断裂力学理论,在应力强度因子变化幅Δk小于阈值Δk₀时,不引起裂纹的扩展^[1],所以等效应力的计算要进行修正,过滤掉低应力部分.Δk₀与材料,应力比R和环境有关. ...

... 由应力强度因子幅的定义公式Δk=Y(σ)

\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix}

^[1],根据当前裂纹尺寸a和应力强度因子阈值,反推一个应力阈值σ₀=Δk₀/(Y

\begin{matrix} \sqrt[]{πa} \end{matrix}

).等效应力公式修正为 ...

Dynamics of Fixed Marine Structures

2011

... 在海浪研究中对充分成长的风浪记录进行谱估计和曲线的拟合时,提出了多种谱,常见的有Pieron-Moskowitz(PM)谱和JONSWAP谱等.其中PM谱的定义如下^[2]: ...

... 根据结构随机振动理论,应力谱由应力传递函数G(f)的平方乘上频谱得到,传递函数为单位激励和结构响应之间的函数关系,表示为^[2] ...

... 应力的概率密度函数符合瑞利分布,其定义如下^[2]: ...

2012

... 应力谱的k阶矩定义为m_k=

\begin{matrix} \int_{0}^{\infty} \end{matrix}

f^kS_σσ(f)df.应力的有效周期根据赖斯(Rice)公式由0阶矩和2阶矩求出:T_e=

\begin{matrix} \sqrt[]{m_{0} / m_{2}} \end{matrix}

^[3]. ...

... 在σ_e的计算程序中,不可能从σ₀积分到无穷大,其积分上限σ_u可由应力概率分布函数来确定.假设某一海况在结构总生命周期的持续时间为T,应力循环次数为N=T/T_e,则积分上限σ_u可由超越概率为1/N的应力值来确定.具体公式为P(σ)=

\begin{matrix} \int_{-}^{\infty} \end{matrix}

p(σ)dσ=1-exp

\begin{matrix} (- \frac{σ^{2}}{8 m_{0}}) \end{matrix}

=1-1/N^[3],解之可得 ...

API RP 2A-2007. Recommended practice for planning, designing and constructing fixed offshore platforms--working stress design

2007

... 求解导管架的传递函数要进行确定性波浪响应分析,采用Airy波理论,波浪力用Morison方程计算.传递函数选取波浪周期从1~20 s之间的20~30个值,波陡采用1/25~1/20.为了求解某个波浪工况下的应力变化幅值δ,把波浪分成20个左右的不同的相位进行计算,20个相位中的最大值减去最小值即得到该工况的应力变化幅值^[4]. ...

〈

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随机波浪载荷下基于断裂力学的结构疲劳分析算法研究

Research of Numerical Algorithms for Structure's Fatigue Assessment in Random Waves Based on Fracture Mechanics

0 引 言

1 应力谱及应力概率密度函数

1.1 海浪谱

1.2 应力谱及应力概率密度函数

2 短期波浪引起的等效应力算法

2.1 等效应力的公式

2.2 考虑应力强度因子阈值影响时等效应力公式的修正

2.3 积分上限σu的确定

2.4 导管架管节点疲劳分析算例

3 波浪长期分布的加载顺序

3.1 加载次序的差别

3.2 加载方法的确定

4 结 语

参考文献 文献选项 原文顺序 文献年度倒序 文中引用次数倒序 被引期刊影响因子

0 引言

2.3 积分上限σ_u的确定

4 结语

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子